Путешествие в мир, где дроби и бесконечности играют по своим правилам.
Дональд Кнут , проводивший отпуск в Норвегии в начале 1970-х годов, неожиданно почувствовал неотложную необходимость написать книгу о сюрреальных числах, которую завершил за неделю. В своей работе Кнут не изобрел сюрреальные числа, но он был первым, кто систематизировал этот термин и описал его в доступной форме, сделав работу « Сюрреальные числа: как двое бывших студентов увлеклись чистой математикой и обрели полное счастье » стандартным трудом по этой теме.
Сюрреальные числа — это уникальная математическая структура, где между любыми двумя числами можно добавлять новые значения. Например, между 0 и 1 можно расположить 1/2, между 0 и 1/2 — 1/4 и так далее. Этот процесс, однако, не заканчивается только дробными значениями, что делает сюрреальные числа гораздо более сложными и интересными, чем простое добавление дробей с большим знаменателем.
Основа сюрреальных чисел была заложена математиком Джоном Хортоном Конвеем , который предложил два ключевых правила, из которых вытекает огромное разнообразие чисел. Первое правило заключается в том, что любое число x определяется через два множества — левое (ML) и правое (MR), которые содержат ранее созданные числа, причем все элементы левого множества всегда меньше, чем правого. Второе правило утверждает, что 0 — это число, ограниченное двумя пустыми множествами. Из этих простых правил возникает целая вселенная чисел.
На «нулевой день» создается 0 из ничего согласно второму правилу: 0 = { : }. На первый день создаются 1 и -1 как наибольшее и наименьшее целые числа. Второй день становится более интересным, когда между числами можно добавлять дробные значения, такие как 1/2, и с каждым новым днем добавляются все больше чисел, включая такие значения, как 3/4, 3 и так далее.
Сюрреальные числа представляют собой не только целые и дробные значения, известные как диадические числа, но и нерациональные числа, такие как π и √2. Например, √2 можно представить через последовательности чисел между 1 и 2, что делает сюрреальные числа похожими на метод Дедекинда , с помощью которого конструируются действительные числа.
Однако наиболее интересным моментом становится создание числа ω — числа, которое больше всех натуральных чисел. Это происходит на день ω, когда создаются бесконечные значения и появляется инфинитезимальное число ε, которое настолько мало, что ни одно реальное число не может его представить. Число ε можно интерпретировать как обратное бесконечности, что делает его особенно важным для математических вычислений.
После дня ω возникают новые бесконечности, такие как ω+1 и ω-1, а также комбинации всех реальных чисел с ε, что создает новые бесконечности и инфинитезимальные числа. Однако сюрреальные числа, несмотря на свое огромное разнообразие, не образуют непрерывную линию, в отличие от реальных чисел. Вселенная сюрреальных чисел полна «пробелов», которые заполняются новыми значениями с каждым новым днем, что делает этот математический объект еще более уникальным.
Эта математическая структура, способная описывать как бесконечности, так и инфинитезимальные числа, оказалась особенно полезной в теории игр . Именно при исследовании стратегий игры Го Конвей пришел к открытию сюрреальных чисел, что стало одним из самых значительных открытий в его жизни.
Источник
